漫談數學史

　　1.16世紀前是常量數學，中學教授的除解析幾何外沒有變量，特點有二，一是研究對象是常 量，二是運算次數是有限的。

　　2.17世紀，笛卡爾開創(chuàng)代數方法，引進坐標，研究變量，研究運動，17世紀下半葉，微積 分為主的變量數學最為發(fā)達，微積分占統(tǒng)治地位，并且解決了許多問題，特別是天體力學 和光學方面的問題。如觀察月球軌道，探照燈，望遠鏡、慧星預測都是與之直接關連的。

　　18世紀很多學科蓬勃興起。

　　3.近代數學，從19世紀到二戰(zhàn)，隨著物理學的深入，熱光等看不見摸不著的東西為數學提出 了新的要求，而且微積分也需要嚴格的邏輯基礎。有三大特點：1 分析數學，實無限，潛無 限概念。自然數，實數作為實體引進到數學。自然數集的個數等于偶數集元素個數，而偶數 集的元素是自然數集元素的部分，那么整體大于局部就不對了。

　　2 幾何：非歐幾何的發(fā)展 ，三角形三內角和不等于180度 。

　　3 代數，與過去的解方程求根不同，提出了代數結構。

同時這一時期出現(xiàn)大學，突破了沙龍，推動數學發(fā)展。

　　4.現(xiàn)代數學：二戰(zhàn)推動了數學的發(fā)展，主要表現(xiàn)在以下幾方面：

　　a計算機對數學的沖擊，算盤可看作是手的延長，計算機是思維的延長，利用計算機提出數 學問題，檢驗證明。

　　b 邊緣科學的發(fā)展 3 全方法滲透

　　二、分類

　　1 分析、幾體、代數是19世紀數學的三大支柱

　　2 確定性數學和隨機性數學

　　3 本世紀30年代法國數學家提出結構方法，代數、拓補和序結構，這種分類是做出來的數學 ，不可能包括全部數學，非結構性數學研究可能性，是自在的數學。

　　三、推動數學發(fā)展的動力：

　　1 實踐推動數學

　　2 內部矛盾推動數學發(fā)展，連續(xù)與離散。光的波粒二重性，利用直線認識曲線周長等。

　　3 追求美、追求完美推動數學。希臘時代就提出了二次曲線，到17世紀才用上，因為有了完整 的體系，并且在求根公式里加進了虛數。

　　4 智力游戲的挑戰(zhàn)，如著名的一筆劃問題。

5 推動數學發(fā)展的三次革命性行為。

1。無理數打破有理數統(tǒng)治世界的局面，畢達哥拉斯學派的觀點是有理數可描述一切，有人提 出正方形對角線是非有理數。

　　2 微積分的邏輯不清楚，牛頓的一個方式為s(t)=t*t

　　那么(s(t+△t-s(t)))/△t=2t+△t 其中△t為無窮小

　　可以忽略，可是如果 為0， 那么前面的被除數就是0， 這是無意義的，對于△t也引起了一場危機。

　　3 集合論 集合論的祖先康德，集合是把滿足一定條件性質的對象放在一起，康德提出 了三個性質，概括性，外延性，選擇性。羅素說到，有一個集合，凡是包括了個以上元素的 集合是這集合的元素，那么這一集合有沒有屬于自己的元素呢，如果屬于，可以推出不屬于 ，如果不屬于，可以推出屬于這就是一個悖論。

右腳鞋是一個集合，右腳襪呢?因為襪不分左右。

還有無窮個數的比較，全體實數大于自然數，那么中間是否有數。

一個圓分成有限塊后可以組成長方形，一個球可以分為兩個同體積的球。

　　6 三大主義

　　1 直覺主義：以荷蘭數學家為首，數學的真理要靠直覺，不承認存在性定理，證明存在卻無 法求知是不可靠的。

　　2 邏輯定義：以羅素為代表，邏輯是數學青年時代，數學是邏輯的壯年時代，邏輯公理化。

　　3 形式主義；
認為概念沒有意義，形式才重要，提出了一套高度抽象的符號系統(tǒng)，把幾何關系 合理化，合理系統(tǒng)是互相獨立的。有相容性，完全性，但有人指出，這是矛盾的，任何相容 的體系都不完全，實際上是相容性本來不能判定。

　　有人希望借助一種方法來判定一個命題是可判定還是不可判定，否則還會有很多精力浪廢 在不可判定的命題上。

　　四、數學的特征

　　1 高度抽象性：直接研究對象是思維，沒有背景。比如圓，研究的不是圓的東西，而是抽象 出來的圓的概念。

　　2 嚴密的邏輯性

　　3 應用的個體性和統(tǒng)一性

　　五、數學的真理觀

　　1 客觀性：不同的地方可以有相同的結論。如中國和西方在沒有聯(lián)系的情況下相互獨立地得 勾股定理。

　　2 實踐性：數學是思維的產物，又適用于實踐，時代的發(fā)展也推動數學發(fā)展，數學是時代的 產物。

　　3 第 五公式：過直線外一點只能作一條平行線，由于這一公理無法以實踐來判定，所以歐 幾里德避免使用，許多數學家為了證明這一公耗廢了大量精力。

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